设函数 f n (x)= x n +bx+c(n∈ N * ，b，c∈R) ．

（1） f 2 (x)= x 2 +x-1 ，
令f ₂ （x）=0，得 x=
-1±
5
2 ，
所以f ₂ （x）在区间（
1
2 ，1）内的零点是x=
-1+
5
2 ．
（2）证明：因为 f n (
1
2 )＜0 ，f _n （1）＞0．
所以 f n (
1
2 )• f _n （1）＜0．
所以f _n （x）在 (
1
2 ，1) 内存在零点．
任取x ₁ ，x ₂ ∈（
1
2 ，1），且x ₁ ＜x ₂ ，
则f _n （x ₁ ）-f _n （x ₂ ）=（ x 1 n - x 2 n ）+（x ₁ -x ₂ ）＜0，
所以f _n （x）在 (
1
2 ，1) 内单调递增，
所以f _n （x）在 (
1
2 ，1) 内存在唯一零点．
（3）当n=2时，f ₂ （x）=x ² +bx+c．
对任意x ₁ ，x ₂ ∈[-1，1]都有|f ₂ （x ₁ ）-f ₂ （x ₂ ）|≤4，
等价于f ₂ （x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．
据此分类讨论如下：
①当 |
b
2 |＞1 ，即|b|＞2时，M=|f ₂ （1）-f ₂ （-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．
②当-1≤ -
b
2 ＜0，即0＜b≤2时，M=f ₂ （1）-f ₂ （ -
b
2 ）=（
b
2 +1） ² ≤4恒成立．
③当0≤ -
b
2 ≤1，即-2≤b≤0时，M=f ₂ （-1）-f ₂ （ -
b
2 ）=（
b
2 -1） ² ≤4恒成立．
综上可知，-2≤b≤2．