（2011•泉州模拟）已知函数f(x)＝x+1x−1，x＞1，且不等式f（x）≥a2+b2+c2对任意x＞1恒成立．

解题思路：（Ⅰ）由于x＞1，x-1＞0根据基本不等式即可求出函数f（x）的最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得　a²+b²+c²≤3由柯西不等式得a+2b+2c的最大值．

（Ⅰ）∵x＞1，x-1＞0
∴f(x)＝x+
1
x−1＝(x−1)+
1
x−1+1≥2+1＝3
（当且仅当x=2时取“=”号）
∴函数f（x）的最小值3
（Ⅱ）由（Ⅰ）得　a²+b²+c²≤3
由柯西不等式得（a²+b²+c²）（1²+2²+2²）≥（1•a+2•b+2•c）²
∴（a+2b+2c）²≤3×9=27，
∴a+2b+2c≤3
3．
当且仅当

a2+b2+c2＝3

a
1＝
b
2＝
c
2＞0即a＝

3
3，b＝
2
3
3，c＝
2
3
3时取“=”．
∴a+2b+2c的最大值3

点评：
本题考点： 柯西不等式在函数极值中的应用．

考点点评： 本小题主要考查柯西不等式在函数极值中的应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．