a,b,c都为正数,若a+b+c=1,求证a^2+b^2+c^2大于等于1/3.要求不用柯西不等式,只用基本不等式.

这道题我只用基本不等式,不用柯西不等式,照样证明如下：
a+b+c=1
两边平方得：
(a+b+c)²=1
a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1 （1）
根据基本不等式：
a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
相加得：
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac)
a²+b²+c²≥ab+bc+ac代入（1）式得：
a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≥3(ab+ac+bc)
即：ab+ac+bc≤1/3
a²+b²+c²=1-2（ab+ac+bc）≥1-2•（1/3）=1/3
即证：a²+b²+c²≥1/3

a²+1/9≥2/3a；b²+1/9≥2/3b；c²+1/9≥2/3b
所以a²+b²+c²+1/3≥2/3（a+b+c）=2/3
所以a²+b²+c²≥1/3