已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-[1/2]，当x＞4时，f（x）

解题思路：（1）由已知得f（1）=f（1）+f（1）-[1/2]，解得f（1）=[1/2]，从而f（2×[1/2]）=f（2）+f（[1/2]）-[1/2]，由此能求出f（2）=1．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）-[1/2]=f（

4x2

x1

•4）-[1/2]=f(

4x2

x1

)+f(

1

4

)−1，由此能求出关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2的解．

（1）∵定义在（0，+∞）上函数f（x），
对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-[1/2]，
∴f（1）=f（1）+f（1）-[1/2]，
∴f（1）=[1/2]，
∴f（2×[1/2]）=f（2）+f（[1/2]）-[1/2]，
∵f（[1/2]）=0，∴f（2）=1．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（
x2
x1）-[1/2]=f（
4x2
x1•4）-[1/2]=f(
4x2
x1)+f(
1
4)−1，
∵f（[1/4]）=f（[1/2]）+f（[1/2]）-[1/2]，且
4x2
x1＞4时，f（x）＞[3/2]，
∴f(x2+3x)＞
3
2＝f(4)，
∴

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查函数值的求法，考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．