已知函数f（x）=ex•（cosx+sinx），将满足f'（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}，记an=f（x

（Ⅰ）证明：f'（x）=e^x（cosx+sinx）+e^x（-sinx+cosx）=2e^xcosx，
令f'（x）=0，∴f′(x)=2excosx=0∴x=kπ-
π
2，k∈Z，
∴xn=nπ-
π
2，n=1，2，3…，
∴an=f(xn)=enπ-
π
2•sin(nπ-
π
2)=(-1)n+1enπ-
π
2，
∴
an+1
an=
f(xn+1)
f(xn)=-eπ，且a1=e
π
2，
∴{a_n}是以e
π
2为首项，-e^π为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，an=(-1)n-1enπ-
π
2，则 c_n=ln|a_n|=nπ-
π
2，
∴{c_n}是以[π/2]为首项，π为公差等差数列，
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=n•
π
2+
n•(n-1)
2•d=
π
2•n2；
（Ⅲ） bn=
(-1)n+1(n+1)
an=[n+1
enπ-
π/2]，∴b_n+1=[n+2
e(n+1)π-
π/2]，
b_n+1-b_n=[n+2
e(n+1)π-
π/2]-

点评：
本题考点： 数列的求和；数列的函数特性；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查等差数列的求和、等比数列通项公式，考查学生的运算求解能力，运算量较大．