（2014•四川模拟）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2≤x≤4时，f（
（2014•四川模拟）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．有下列命题：
①若函数所有极大值对应的点均在同一条直线上，则c=1；
②从左起第n个极大值点的坐标是（3•2n-2，cn-2）；
③c=1时，方程f（x）-sinx=0，x∈[0，4π]有6个零点；
④当1≤x≤8时，函数f（x）图象与x轴所围成图形面积的最小值等于3．
其中，正确命题的序号是______．
①若函数所有极大值对应的点均在同一条直线上，则c=1；
②从左起第n个极大值点的坐标是（3•2n-2，cn-2）；
③c=1时，方程f（x）-sinx=0，x∈[0，4π]有6个零点；
④当1≤x≤8时，函数f（x）图象与x轴所围成图形面积的最小值等于3．
其中，正确命题的序号是______．
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解题思路：①由已知的两个条件，可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．
②由①得到的极值点，根据等比数列的通项公式，即可判断；
③画出y=f（x），x∈[1，4π]，y=sinx在x∈[0，4π]的图象，由图象观察即可判断；
④分别求出三段的三角形的面积，求和，运用基本不等式，即可求出最小值．
②由①得到的极值点，根据等比数列的通项公式，即可判断；
③画出y=f（x），x∈[1，4π]，y=sinx在x∈[0，4π]的图象，由图象观察即可判断；
④分别求出三段的三角形的面积，求和，运用基本不等式，即可求出最小值．
①当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=[1/c]f（2x）=[1/c]（1-|2x-3|），此时当x=[3/2]时，函数取极大值[1/c]；
当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|；此时当x=3时，函数取极大值1
当4＜x≤8时，2＜[x/2]≤4，则f（x）=cf（[x/2]）=c（1-|[x/2]-3|），此时当x=6时，函数取极大值c．
由于函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（[3/2]，[1/c]），（3，1），（6，c）共线，[c−1/3]=[2/3•（1-
1
c]），解得c=1或2．故①错误；
②由①可知，极大值点的横坐标成等比数列，首项为[3/2]，公比为2，
纵坐标也成等比数列，首项为[1/c]，公比为c，则从左起第n个极大值点的坐标是（3•2n-2，cn-2），故②正确；
③c=1时，方程f（x）-sinx=0，x∈[0，4π]，画出y=f（x），x∈[1，4π]，y=sinx在x∈[0，4π]的图象，由图象可得有4个交点，故③错；
④
当1＜x＜2时，三角形的面积为[1/2]×1×[1/c]，2＜x＜4时，三角形的面积为[1/2×2×1=1，
当4＜x＜8时，
三角形的面积为
1
2×4×c=2c．
故面积和为：
1+2c+
1
2c]≥1+2=3．当且仅当c=[1/2]，取最小值3．故④正确．
故答案为：②④
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查分段函数及运用，考查函数的极值概念，函数零点问题转化为图象交点问题，同时考查数列通项，点共线问题及直线的斜率问题，是一道综合题，有一定的难度．
1年前
10
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