特征向量与特征值1、A,B可换,且A有n个互异的特征值,求证A的特征向量也都是B的特征向量2、求证：任意两个n阶矩阵A和
特征向量与特征值
1、A,B可换,且A有n个互异的特征值,求证A的特征向量也都是B的特征向量
2、求证：任意两个n阶矩阵A和B,AB和BA有相同的特征多项式,若AB=BA,则A和B至少有一个公共的特征向量
1、A,B可换,且A有n个互异的特征值,求证A的特征向量也都是B的特征向量
2、求证：任意两个n阶矩阵A和B,AB和BA有相同的特征多项式,若AB=BA,则A和B至少有一个公共的特征向量
赞 nickyin0710 幼苗
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好麻烦 我来答一个吧
因为A有n个相异特征值,所以A可对角化
即存在可逆矩阵P,P^-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)
由AB=BA得 (P^-1AP)(P^-1BP)=(P^-1BP)(P^-1AP)
所以有 diag(λ1,λ2,...,λn)(P^-1BP)=(P^-1BP)diag(λ1,λ2,...,λn)
由于λ1,λ2,...,λn两两不等
所以 P^-1BP 是对角矩阵
所以A的特征向量都是B的特征向量
因为A有n个相异特征值,所以A可对角化
即存在可逆矩阵P,P^-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)
由AB=BA得 (P^-1AP)(P^-1BP)=(P^-1BP)(P^-1AP)
所以有 diag(λ1,λ2,...,λn)(P^-1BP)=(P^-1BP)diag(λ1,λ2,...,λn)
由于λ1,λ2,...,λn两两不等
所以 P^-1BP 是对角矩阵
所以A的特征向量都是B的特征向量
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你能帮帮他们吗