已知函数f（x）=ax4+bx3，（其中a、b为常数），当x=[3/4]时，取得极值-[27/256]．

解题思路：（1）由f′（34）=0和f（34）=-27256解得a和b的值，从而求出f（x）的解析式；（2）由f（x）在（k，﹢∞﹚上为增函数，得f′（x）≥0恒成立，求出k的取值范围；（3）由题意，过M点有4条切线，得到切线斜率切线过MP的斜率x04−x03+p2−pq−18x0+12＝x02(4x0−3)，整理得到关于x0的四次方程，还原为t的二次方程，构造二次函数，使得有两个正的零点，得到关于p，q的不等式，因为p的范围已知，分离变量，求q的范围．

（1）f′（x）=4ax³+3bx²=（4ax+3b）x²
∴

f′(
3
4)＝
9
16(4a×
3
4+3b)＝0
f(
3
4)＝a×(
3
4)4+b×(
3
4)3＝−
27
256化简得

a+b＝0
3a+4b＝−1解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x⁴-x³；
（2）f′（x）=4x³-3x²=x²（4x-3），
当x＞[3/4]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜[3/4]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∵f（x）在（k，﹢∞﹚上为增函数，∴k≥
3
4，即k的取值范围为[[3/4]，+∞）；
（3）由（1）知：f（x）=x⁴-x³ ，f′（x）=4x³-3x²，设切点为P（x0，x04−x03），切线过MP的斜率
x04−x03+p2−pq−
1
8
x0+
1
2＝x02(4x0−3)，
整理得3x04−
3
2x02＝p2−pq−
1
8，
设t=x02，则上式为3t2−
3
2t＝p2−pq−
1
8，
设f（t）=3t2−
3
2t−(p2−pq−
1
8)，
∵对任意p∈[1，[9/8]]，过点M总可以做函数y=f（x）图象的四条切线，
∴f（t）=0有两个正根，
∴

p2−pq−
1
8＞0
△＝
9
4−12(p2−pq−
1
8)，
整理得p−
1
8p＜q＜p+
1
16q，p∈[1，[9/8]]，
[73/72＜q＜
17
16]，

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了利用导数求函数的极值、单调区间以及切线方程等知识的综合运用，属于难题．