是否存在这样一个正整数，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上129时是另一个完全平方数？若存在，请求出这个正整数；

解题思路：利用分解因式求不定方程的整数解，再求m的值，进而得出答案．

假设存在这样的正整数m，由题意得：
m+100=x²①；m+129=y²②，
②-①得y²-x²=29．所以（y+x）（y-x）=29×1．
只有当x+y=29，y-x=1时，成立，即

x+y＝29
y−x＝1，
解得：

y＝15
x＝14，
所以m=x²-100=14²-100=196-100=96，
∴存在正整数96，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上129时是另一个完全平方数．

点评：
本题考点： 完全平方数．

考点点评： 此题主要考查了运用公式法因式分解以及二元一次方程组的解法，得出x+y=29，y-x=1是解题关键．

这个数是96
96+100=196是14的完全平方
96+129=225是15的完全平房

这个数是96
96+100=196是14的完全平方
96+129=225是15的完全平方

设这个数为x
则x+100=a^2
x+129=b^2
相减
b^2-a^2=129-100
(b+a)(b-a)=29
29是质数，只能分解为29*1
显然b+a>b-a
所以b+a=29,b-a=1
相加
2b=30,b=15,a=14
所以x=b^2-129=96
所以存在，它是96