高二立体几何 P为△ABC外一点,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是多少

∵△APB、BPC、CPA都是直角边为1的等腰直角三角形,所以AB=BC=CA=√2,
△ABC是等边三角形.取AB的中点D,连接PD和CD,那么AB⊥PD,AB⊥CD,
则AB⊥平面PDC,平面ABC⊥平面PDC.
点P到平面ABC的距离PH必在平面PDC内,点H位于DC上,PH是△PDC的高.
∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB,PC⊥PD,△PDC是直角三角形.
在△PAB中,PD=√2/2,在△ABC中,CD=√2×√3/2=√6/2,
在△PDC中,PC=1,高PH=√2/2×1÷√6/2=1/√3=√3/3

可以借助三棱锥体积求得P到平面ABC的距离。
∵PA、PB、PC两两垂直，
∴三棱锥的体积是1/3*(1/2*1*1)*1=1/6
设P到平面ABC的距离是h，
∵可证△ABC是等边三角形，且边长是√2
∴S△ABC=√3/4*(√2)²=√3/2
∴三棱锥体积为1/3*(√3/2)h
∴1/3*(√3/2)h=1/6
∴h...

a/2 二分之一A
做P到底面的垂直线D，连接AD。做D到AB的垂直线E。
因为ABC为等边三角形，
所以ADE为三十度角的直角三角形，因为AB=a，所以AE=a/2，所以AD=2分之根号3a 。根据勾股定理，AP=a，AD=2分之根号3a，所以PD=a/2。即P到平面ABC的距离为PD的长度a/2。...