如图，已知抛物线y=ax 2 -2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1，0），O是坐标原点，

（1）∵点A的坐标是（-1，0），则AO=1，OC=3OA=3，
∴C为（0，-3）
∵抛物线过（-1，0）和（0，-3）


∴

a+2a+c=0
c=-3
∴

a=1
c=-3
∴此抛物线函数表达式为：y=x ² -2x-3，
∵y=x ² -2x-3=（x-3）（x+1），
∴B点坐标为：（3，0），
设BC直线解析式为：y=kx+b，


b=-3
3k+b=0 ，
解得：

k=1
b=-3 ，
直线BC的解析式：y=x-3；

（2）∵OB=OC=3
∴∠OCB=∠OBC=45°
又∵∠OEF+∠BEF=∠COE+∠OCB
且∠OEF=45°
∴∠BEF=∠COE；

（3）①∵∠OFE=∠BEF+∠OBC＞45°
∴∠OFE＞∠OEF
∴OE＞OF即OE≠OF．
②当OE=EF时，
在△COE和△BEF中


∠BEF=∠COE
∠OCE=∠EBF
OE=EF ，
∴△COE≌△BEF（AAS），
∴BE=CO=3．
过E作ED⊥x轴于D．
∴ED=BD=BEcos45°=
3
2
2 ，
∴OD=3-
3
2
2 ，
∴E为（3-
3
2
2 ，-
3
2
2 ）；
③当OF=EF时，则∠FOE=∠OEF=45°
∴∠OFE=90°．∴EF⊥OB．
∴E为BC的中点，∴E为 (
3
2 ，-
3
2 ) ．

（4）对称轴为x=1，
∴P为（1，-2）．
①AP为边，
此时P点纵坐标为2或-2，
令x ² -2x-3=2
即x ² -2x-5=0
∴x ₁ =1+
6 ，x ₂ =1-
6 ，
∴N为（1+
6 ，2）或（1-
6 ，2），
故M为（3+
6 ，0）或（3-
6 ，0），
令x ² -2x-3=-2
即x ² -2x-1=0，
∴x ₁ =1+
2 ，x ₂ =1-
2 ，
∴N为（1+
2 ，2）或（1-
2 ，2），
故M为（-1+
2 ，0）或（-1-
2 ，0），
②AP为对角线，
设M为（x，0）
则N为（-x，-2）
∴x ² +2x-3=-2
x ² +2x-1=0
∴x ₁ =-1+
2 ，x ₂ =-1-
2 ，
故M为（-1+
2 ，0）或（-1-
2 ，0），
综上所述：M为（3+
6 ，0）或（3-
6 ，0）或（-1+
2 ，0）或（-1-
2 ，0）．

1年前