七月蔚漾 幼苗
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(Ⅰ)证明:由翻折可知:△OPE≌△FPE,△ABP≌△DBP,
∴∠OPE=∠FPE,∠APB=∠DPB,又∠OPE+∠FPE+∠APB+∠DPB=180°,
∴∠EPB=∠EPF+∠DPB=∠OPE+∠APB=90°,又∠OPE+∠OEP=90°,
∴∠OEP=∠APB,又∠POE=∠BAP=90°,
∴△POE∽△BAP;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:△POE∽△BAP,
∴[OP/AB]=[OE/AP],又OP=x,OE=y,故PA=4-x,AB=3,
即[x/3]=[y/4−x],化简得:y=[1/3]x(4-x)=-[1/3]x2+[4/3]x,且0<x<4,
∴当x=-[b/2a]=-
4
3
2×(−
1
3)=2时,ymax=
4ac−b2
4a=
4×(−
1
3)×0−(
4
3)2
4×(−
1
3)=[4/3];
(Ⅲ)根据题意可知:△EOP和△PAB都为等腰直角三角形,且OP=OE=1,AP=AB=3,
则E(0,1),P(1,0),B(4,3),设过三点的抛物线解析式为:y=ax2+bx+c,
把三点坐标代入得:
c=1①
a+b+c=0②
16a+4b+c=3③,
③-②×4得:12a-3c=3,把c=1代入解得:a=[1/2],
把a=[1/2],c=1代入②解得:b=-[3/2],故y=[1/2]x2-[3/2]x+1;
(Ⅳ)存在.
当点P为△EPQ的直角顶点时,由EP⊥PB,此时Q与B重合,可得Q1(4,3);
当点E为△EPQ的直角顶点时,过点E作EQ2⊥EP,交抛物线与点Q2,
由EQ2∥PB,设直线PB的方程为:y=kx+b,
把P(1,0)和B(4,3)代入得:
k+b=0①
4k+b=3②,
②-①得:3k=3,解得:k=1,把k=1代入①得:b=-1,
所以直线PB的方程为:y=x-1,则直线EQ2的斜率为1,
则直线EQ2的方程为:y=x+m,把E(0,1)代入得:m=1,即直线EQ2的方程为:y=x+1,
与抛物线解析式联立消去y得:x+1=[1/2]x2-[3/2]x+1,即x(x-5)=0,解得:x=0或x=5,
把x=5代入直线EQ2方程y=x+1得:y=6,故Q2(5,6),
综上,满足题意的Q点的坐标为(4,3)或(5,6).
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;待定系数法求二次函数解析式;矩形的性质;翻折变换(折叠问题).
考点点评: 本题要求学生掌握证明相似的方法:两对对应角相等的两三角形相似;两对对应边对应成比例且夹角相等的两三角形相似;三边对应成比例的两三角形相似;待定系数法的步骤:先设出函数解析式,把已知点的坐标代入得到一个方程组,求出方程组的解即可得到所设字母的值,确定出函数解析式.同时注意翻折得到三角形全等以及掌握分类讨论的数学思想.
1年前
1年前1个回答
你能帮帮他们吗
精彩回答
1年前
1年前
1年前
小张在学习之余玩会儿电脑游戏,放松身心;而小王则玩游戏“夜以继日”,都忘记做作业。这说明( )
1年前
1年前