三角形ABC内接与圆O,AB=AC,I为弦AD上一点,且AI=AC,求证:I为三角形BCD的内心.

证明：延长BI交与圆上F点,延长CI交与圆上E点,
∠ADB=1/2弧AB; ∠ADC=1/2弧AC
因为 AB=AC
弧AB=弧AC
所以∠ADB=∠ADC
因为∠AIB=∠DIF=1/2（弧AB+弧DF)
又因为∠ABF=1/2（弧AC+弧CF)
因为 AB=AC=AI
所以∠ABI=∠AIB
所以 1/2（弧AB+弧DF)= 1/2（弧AC+弧CF)
因为 弧AB=弧AC 所以 弧DF=弧CF 所以∠DBF=∠FBC 所以 BI是∠DBC角平分线
同理可得 EC是∠DCB角平分线
即 I是三角形BDC角平分线的交点,为三角形BDC内切圆圆心,
所以 I是三角形BDC的内心