已知抛物线y^2=x上存在两点关于直线l:y=k(x-1)+1对称,求实数k的取值范围
已知抛物线y^2=x上存在两点关于直线l:y=k(x-1)+1对称,求实数k的取值范围
设A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线l对称,则y1^2=x1,y2^2=x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=x1-x2.之后是“因为弦AB的中点在直线l上,所以(x1+x2)/2=1/2-1/k”.
想问为什么因为弦AB的中点在直线l上,所以(x1+x2)/2=1/2-1/k?
设A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线l对称,则y1^2=x1,y2^2=x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=x1-x2.之后是“因为弦AB的中点在直线l上,所以(x1+x2)/2=1/2-1/k”.
想问为什么因为弦AB的中点在直线l上,所以(x1+x2)/2=1/2-1/k?
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直线L：Y=k(x-1)+1
k≠0时,设与L垂直的直线L':y=-1/kx+m
y=-1/kx+m与y²=X联立,消去x得：
y=-1/ky²+m即y²+ky-km=0
Δ=k²+4km>0
设L'交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)
A,B中点M(x0,y0), A,B关于L对称
则2y0=y1+y2=-k,y1y2=-km
∴ y0=-k/2,x0=k²/2+km
M点在L上,
∴-k/2=k(k²/2+km-1)+1
∴k/2=k³/2+k²m+1
∴k²m=k/2-k³/2-1
∴km=1/2-k²/2-1/k代入Δ>0
∴k²+ 2-2k²-4/k>0
∴ -2+k²+4/k
k≠0时,设与L垂直的直线L':y=-1/kx+m
y=-1/kx+m与y²=X联立,消去x得：
y=-1/ky²+m即y²+ky-km=0
Δ=k²+4km>0
设L'交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)
A,B中点M(x0,y0), A,B关于L对称
则2y0=y1+y2=-k,y1y2=-km
∴ y0=-k/2,x0=k²/2+km
M点在L上,
∴-k/2=k(k²/2+km-1)+1
∴k/2=k³/2+k²m+1
∴k²m=k/2-k³/2-1
∴km=1/2-k²/2-1/k代入Δ>0
∴k²+ 2-2k²-4/k>0
∴ -2+k²+4/k
1年前
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