1.向量组A1,A2,A3...An是线性方程组AX=0的一个基础解系,向量组
1.向量组A1,A2,A3...An是线性方程组AX=0的一个基础解系,向量组
B1=t1A1+t2A2,
B2=t1A2+t2A3,
B3=t1A3+t2A4,
.
Bn=t1An+t2A1,
其中t1,t2是常数,求当t1,t2满足什么关系时,向量组B1,B2.Bn也是线性方程组AX=0的一个基础解系?答案是t1的n次方加上-1的n-1次方乘以t2的n次方不等于0
2.
设a1,a2是矩阵A的属于不同特征值的特征向量,证明a1+a2不是A的一个特征向量
B1=t1A1+t2A2,
B2=t1A2+t2A3,
B3=t1A3+t2A4,
.
Bn=t1An+t2A1,
其中t1,t2是常数,求当t1,t2满足什么关系时,向量组B1,B2.Bn也是线性方程组AX=0的一个基础解系?答案是t1的n次方加上-1的n-1次方乘以t2的n次方不等于0
2.
设a1,a2是矩阵A的属于不同特征值的特征向量,证明a1+a2不是A的一个特征向量
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证明: 因为两个向量组所含向量个数相同
所以只需证明 b1,b2,...,bn 线性无关.
(b1,b2,...,bn)=(a1,a2,...,an)P
其中P为n阶方阵,且 P =
t1 0 0 ... 0 t2
t2 t1 0 ... 0 0
0 t2 t1... 0 0
... ...
0 0 0 ... t1 0
0 0 0 ... t2 t1
因为a1,a2,...,an线性无关
所以 r(b1,b2,...,bn)=r(P)
所以 b1,b2,...,bn 是AX=0的基础解系的充分必要条件是 |P|≠0.
而 |P| = t1^n + (-1)^(n-1) t2^n.
所以 t1^n + (-1)^(n-1) t2^n≠0时,b1,b2,...,bn 是AX=0的基础解系
所以只需证明 b1,b2,...,bn 线性无关.
(b1,b2,...,bn)=(a1,a2,...,an)P
其中P为n阶方阵,且 P =
t1 0 0 ... 0 t2
t2 t1 0 ... 0 0
0 t2 t1... 0 0
... ...
0 0 0 ... t1 0
0 0 0 ... t2 t1
因为a1,a2,...,an线性无关
所以 r(b1,b2,...,bn)=r(P)
所以 b1,b2,...,bn 是AX=0的基础解系的充分必要条件是 |P|≠0.
而 |P| = t1^n + (-1)^(n-1) t2^n.
所以 t1^n + (-1)^(n-1) t2^n≠0时,b1,b2,...,bn 是AX=0的基础解系
1年前
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1年前2个回答
你能帮帮他们吗