定义在（-1，1）的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（[x+y/1+xy]），当x

由已知令x=y=0代入f（x）+f（y）=f（[x+y/1+xy]），得，f（0）=0；
同理，再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以该函数是奇函数，
再结合f（x）+f（y）=f（[x+y/1+xy]），
∴f（[1
n2+3n+1）=f（

1/n+1−
1
n+2
1−
1
n+1•
1
n+2]）=f（[1/n+1]）-f（[1/n+2]），
∴原式左边=f（[1/2]）-f（[1/3]）+f（[1/3]）-f（[1/4]）+f（[1/4]）-f（[1/5]）+…+f（[1/n+1]）-f（[1/n+2]）
=f（[1/2]）-f（[1/n+2]），
∵当x∈（-1，0）时有f（x）＞0，且f（x）是奇函数，
∴-f（[1/n+2]）=f（−
1
n+2）＞0，
∴f（[1/2]）-f（[1/n+2]）＞f(
1
2)，
即f(
1
5)+f(
1
11)+…+f(
1
n2+3n+1)＞f(
1
2)．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 此题有一定难度．一般先利用赋值法求出f（0），f（1），f（-1）等等，然后判断函数的奇偶性，单调性等性质；同时本题联系到条件f（x）+f（y）=f（[x+y/1+xy]），将左边拆项，错位相减进行化简，有一定的技巧性和难度，需要细细体会．

1年前

残萧 幼苗

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1年前

1

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