如图,A是定圆⊙O内一顶点,从A点任意作两条互相垂直的射线,分别交⊙O于B,C,作矩形ABPC,求证:P的轨迹

因为A是定圆⊙O内一定点
那么我们可以假设A位于弦OG上
再从A点任意作两条互相垂直的射线,分别交⊙O于B,C
所以可以假设圆半径为R,OA为定值L,∠CAO=X
我们做OD垂直于PB,延长BA交圆于H,做OF垂直于BH
OE=L*SINX
CE=根号(R^2-L^2*SINX^2)
因为CEDP为矩形,所以PD=CE=根号(R^2-L^2*SINX^2)
因为OFAE为矩形,所以∠AOD=∠CAO=X
OF=L*COSX
所以BF=根号(R^2-L^2*COSX^2)
因为OFBD为矩形,所以OD=BF
PO=根号(OD^2+PD^2)
PO=根号(R^2-L^2*COSX^2+R^2-L^2*SINX^2)
PO=根号(2R^2-L^2)为定值,与X无关
所以P的轨迹是以O为圆心的圆

首先将圆模拟在一个坐标系上。圆心为坐标原点
设A为(a,b)定点 （a,b为定值）
B(a1,b1) C (a2,b2)
则a1^2+b1^2=r^2
同理a2^2+b2^2=r^2
用向量表示出AB AC 就可以相加求出AP
然后表示OP的向量
平方后 算数表示 OP长度的平方 一个长式
又有 向量ABXAC的数量积为0 刚好...