设n方阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n

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因为A*A=A,所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程
Ax=0的解,由于A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)小于等于n；
又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；立刻可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n.

1年前

秦客网幼苗

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设 X为n维空间，设 e1, e2, ..., e_i， i = R(A), 为 AX 的一组基，并扩充为 e1, e2, ..., e_i, e_(i+1), ..., e_n, 使得其为 X 的一组基。
任给 x， A(Ax) = Ax, 这意味着 A 在AX 上为单位映射。所以：
对所有 1<= s <= i,
Ae_s = e_s,
（A-E)e_s =...

1年前

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