若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的

若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（　　）
A. f（x）-1是奇函数
B. f（x）-1是偶函数
C. f（x）+1是奇函数
D. f（x）+1是偶函数
cooltree 1年前 已收到4个回答 举报
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康福贵 春芽

共回答了28个问题采纳率：85.7% 举报

解题思路：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可

∵对任意x1，x2∈R有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
∴令x1=x2=0，得f（0）=-1
∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∴f（x）+1为奇函数．
故选C

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

1年前

10

山芋小丸子 幼苗

共回答了23个问题 举报

首先
令X1=X2=0
所以
f（0）=-1
再令X1=X X2=-X
所以
f（0）=f（X）+f(-X)+1
f（X）+f(-X)+2=0
（f（X）+1）+（f(-X)+1）=0
即
f(X)+1为奇函数
希望对你有所帮助

1年前

2

782622 幼苗

共回答了13个问题 举报

简单方法：f(x)=-1;f(x)=x-1是满足抽象函数所有函数，易判断C正确。(这是柯西方程变形，以后这种题都可这样做） 正常方法：楼上已给出。

1年前

1

zz学徒 幼苗

共回答了1个问题 举报

令x1=0，x2=0,则有：f（0+0）=f（0）+f(0)+1,解得 f(0)=-1
令x1=-x2 ,则有 f(-x2+x2)=f(-x2)+f(x2)+1
即 f(0)=f(-x2)+f(x2)+1=-1
即 f(-x2)+f(x2)=-2
即 f(x2)+1=-[f(-x2)+1]
所以f(x)...

1年前

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