已知数列{an},{bn}与函数f(x),g(x),x∈R满足条件:
已知数列{an},{bn}与函数f(x),g(x),x∈R满足条件:
b1=b,an=f(bn)=g(b(n+1))(n∈N*)
若f(x)=tx+1(t≠0,t≠2),g(x)=2x,f(b)≠g(b),且lim(an)(n→∞)存在,求t的取值范围,并求lim(an)(n→∞)(用t表示).
b1=b,an=f(bn)=g(b(n+1))(n∈N*)
若f(x)=tx+1(t≠0,t≠2),g(x)=2x,f(b)≠g(b),且lim(an)(n→∞)存在,求t的取值范围,并求lim(an)(n→∞)(用t表示).
赞 清瘦男人 春芽
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由条件知：tbn+1=2b(n+1),且t≠2.可得
b(n+1)+1/(t-2)=(t/2)[bn+1/(t-2)].
由f(b)≠g(b),t≠2,t≠0,可知b+1/(t-2)≠0,t/2≠0,
所以{bn+1/(t-2)}是首项为b+1/(t-2),公比为t/2的等比数列.
bn+1/(t-2)=[b+1/(t-2)](t/2)^(n-1),即bn=[b+1/(t-2)](t/2)^(n-1)-1/(t-2)
由an=2b(n+1)可知,若liman(n→∞）存在,则limbn(n→∞）存在.
于是可得0＜|t/2|＜1,故-2＜t＜0或0＜t＜2
liman(n→∞）=2limbn(n→∞）=2/(t-2).
b(n+1)+1/(t-2)=(t/2)[bn+1/(t-2)].
由f(b)≠g(b),t≠2,t≠0,可知b+1/(t-2)≠0,t/2≠0,
所以{bn+1/(t-2)}是首项为b+1/(t-2),公比为t/2的等比数列.
bn+1/(t-2)=[b+1/(t-2)](t/2)^(n-1),即bn=[b+1/(t-2)](t/2)^(n-1)-1/(t-2)
由an=2b(n+1)可知,若liman(n→∞）存在,则limbn(n→∞）存在.
于是可得0＜|t/2|＜1,故-2＜t＜0或0＜t＜2
liman(n→∞）=2limbn(n→∞）=2/(t-2).
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