已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=[lnx/x]，且f（e）=[1/2e]，则f（x）

∵xf′（x）+2f（x）=[lnx/x]，
∴x²f′（x）+2xf（x）=lnx
∴[x²f（x）]′=lnx，
∴x²f（x）=xlnx-x+c，
将x=e代入可得：
e²f（e）=elne-e+c，
∵f（e）=[1/2e]，
∴c=[e/2]
∴x²f（x）=xlnx-x+[e/2]，
∴f（x）=[2xlnx−2x+e
2x2
∴f′（x）=
4x2lnx−8x2lnx+8x3−4ex
4x4=
−xlnx+2x−e
x3，
令g（x）=-xlnx+2x-e，
则g′（x）=1-lnx，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
故当x=e时，g（x）取最大值0，
故g（x）≤0恒成立，
故f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）是减函数．
故选：C

点评：
本题考点： 导数的运算．

考点点评： 本题考查的知识点是导数的运算，导数在求函数最值时的应用，是导数的综合应用，难度大，运算量大，属于难题．

1年前

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