已知正项数列{an}和{bn}中，a1=a（0＜a＜1），b1=1-a．当n≥2时，an=an-1bn，bn=bn−a1

（1）证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，a₁+b₁=a+（1-a）=1，命题成立；
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时命题成立，即a_k+b_k=1，则当n=k+1时，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1=（a_k+1）•b_k+1=（a_k+1）•
bk
1−
a2k=
bk
1−ak=
bk
bk=1．
∴当n=k+1时，命题也成立．
由①、②可知，a_n+b_n=1对n∈N^*恒成立．
（2）∵a_n+1=a_nb_n+1=
anbn
1−
a2n=
an(1−an)
1−
a2n=
an
1+an，
∴[1
an+1=
1+an
an=
1
an+1，
即
1
an+1-
1
an=1．
数列{
1
an}是公差为1的等差数列，其首项为
1
a1=
1/a]，
[1
an=
1/a]+（n-1）×1，从而a_n=

点评：
本题考点： 数学归纳法；数列递推式．

考点点评： 本题是基础题，考查数学归纳法的证明方法，注意n=k+1的证明过程，增加了2k个区域，这是证明的关键所在，两个步骤缺一不可．注意（2）的裂项法的应用．

1年前

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