（本小题满分12分）二次函数f（x）满足 且f（0）=1.
| （本小题满分12分）二次函数f（x）满足  且f（0）=1.(1)求f（x）的解析式; (2)在区间  上,y= f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围. |
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(1)设f（x）=ax 2 +bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax 2 +bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1) 2 +b(x+1)+1-(ax 2 +bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以
,∴f(x)=x 2 -x+1.
(2)由题意得x 2 -x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x 2 -3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
设g(x)= x 2 -3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=
,所以g(x) 在[-1,1]上递减.
故只需g(1)>0,即1 2 -3×1+1-m>0,解得m<-1.
略
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1) 2 +b(x+1)+1-(ax 2 +bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以
,∴f(x)=x 2 -x+1. (2)由题意得x 2 -x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x 2 -3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
设g(x)= x 2 -3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=
,所以g(x) 在[-1,1]上递减.故只需g(1)>0,即1 2 -3×1+1-m>0,解得m<-1.
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