Piaget
幼苗
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(1)证明:∵对任意a,b都有f(a+b)=f(a)f(b)
既然a,b可以为任意实数,那么令a=b=0有:f(0+0)=f(0)f(0)
即:f(0)=f(0)²,∴f(0)=0或1,又f(0)≠0,∴f(0)=1
设x<0,则:令a=x,b=-x有:f(x+(-x))=f(x)f(-x)
即:f(0)=f(x)f(-x)
∵f(0)=1>0,-x>0,且题意x>0时,f(x)>1
∴f(-x)>0
∴f(x)>0
x<0时,f(x)>0,x=0时f(x)=1>0,x>0时,f(x)>1>0
∴x对于任意实数都有f(x)>0;
(2)设x1<x2
令a=x1,b=x2-x1有:f(x1+(x2-x1))=f(x1)f(x2-x1)
即:f(x2)=f(x1)f(x2-x1)
又x1<x2,当x>0时,f(x)>1
∴f(x2-x1)>1
∴f(x2)=f(x1)f(x2-x1)>f(x1)
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在R上是增函数;
(3)f(x)f(2x-x²)>1
令a=x,b=2x-x²有:f(x)f(2x-x²)=f(x+(2x-x²))=f(x-x²)
又f(0)=1
∴不等式等价于f(x-x²)>f(0)
∵f(x)在R上是增函数
∴不等式等价于x-x²>0
x²-x<0
0<x<1;
1年前
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