已知函数f（x）=lnx-x?ax，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y

f′(x)＝
1
x?
x?(x?a)
x2＝
x?a
x2（x＞0），
（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，
所以f'（1）=-1，即1-a=-1解得a=2；
当a=2时，f(x)＝lnx?
x?2
x，f′(x)＝
x?2
x2．
令f′(x)＝
x?2
x2＜0，解得0＜x＜2，
所以函数的递减区间为（0，2）；
（2）①当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，3）上恒成立，
这时f（x）在[1，3]上为增函数
则f（x）_min=f（1）=a-1
令 a?1＝
1
3，得a＝
4
3＞1（舍去），
②当1＜a＜3时，由f'（x）=0得，x=a∈（1，3）
由于对于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，
对于x∈（a，3）有f'（x）＞0，f（x）在[a，3]上为增函数，
则f（x）_min=f（a）=lna，
令lna＝
1
3，得a＝e
1
3，
③当a≥3时，f'（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，
故f′(x)min＝f(3)＝ln3+
a
3?1．
令ln3+
a
3?1＝
1
3得 a=4-3ln3＜2（舍去）
综上，a＝e
1
3．