（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q-1}，集合A={x|x=x1+x2
（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q-1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1，xi∈M，i=1，2，…n}．
（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．
（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．
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解题思路：（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x＝x1+x2•2+x3•22，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．
（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，可得an-bn≤-1．
由题意可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+(an−1−bn−1)qn−2+(an−bn)qn−1≤-[1+q+…+qn-2+qn-1]，
再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，可得an-bn≤-1．
由题意可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+(an−1−bn−1)qn−2+(an−bn)qn−1≤-[1+q+…+qn-2+qn-1]，
再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
（Ⅰ）当q=2，n=3时，
M={0，1}，A={x|x＝x1+x2•2+x3•22，xi∈M，i=1，2，3}．
可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．
（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，∴an-bn≤-1．
可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+…+(an−1−bn−1)qn−2+(an−bn)qn−1
≤-[1+q+…+qn-2+qn-1]
=−
qn−1
q−1＜0．
∴s＜t．
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．
考点点评： 本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
1年前
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