During the week ______ he tried to collet materials for his

应该用：that followed
说明：
1.如果要用following的话得说the following week,在本题中week在前,following不能做后置定语.故不能选择A；
2.followed表示被动,若看成是过去分词做后置定语,因为此时followed就没有接下来的意思了,故B不能选.
3.to follow 不定式短语,follow后要有follow的宾语,语法不正确；
4.That followed 是一个定语从句,修饰week.语法和表达的意思都符合原句.
That followed 就是是一个定语从句啊

B.followed 接下来的

构成修饰关系,接下来的一周,等于一个形容词 应该是the foiiowing week吧，这时 following等同于一个形容词来修饰week