已知函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤5，则f（-3）的取值范围是______．

解题思路：设f（-3）=λf（-1）+μf（1），根据二次函数解析式和比较系数法，解出λ=6且μ=3，再根据不等式的基本性质将同向不等式相加，即可得到f（-3）的取值范围．

∵f（x）=ax²+bx，
∴f（-1）=a-b，f（1）=a+b
由此可得不等式组

1≤f(−1)≤2
2≤f(1)≤5即

1≤a−b≤2
2≤a+b≤5
设f（-3）=λf（-1）+μf（1），可得9a-3b=λ（a-b）+μ（a+b）
∴

λ+μ＝9
−λ+μ＝−3，解之得

λ＝6
μ＝3，得f（-3）=6f（-1）+3f（1），
∵1≤f（-1）≤2，∴6≤6f（-1）≤12，
同理可得6≤3f（1）≤15，两个不等式相加得：12≤6f（-1）+3f（1）≤27
即f（-3）的取值范围是[12，27]
故答案为：[12，27]

点评：
本题考点： 不等式的综合；简单线性规划．

考点点评： 本题给出二次函数，在已知f（-1）和f（1）的取值范围情况下求f（3）的取值范围，着重考查了比较系数法和二元一次不等式的解法等知识，属于中档题．

1≤a-b≤2
2≤a+b≤5
令9a-3b=c(a-b)+d(a+b)
c+d=9
-c+d=-3
d=3,c=6
9a-3b=6(a-b)+3(a+b)
12≤9a-3b≤27

1≤a-b≤2 1式
2≤a+b≤5 2式
f（-3）=9a-3b
6*1式+3二式 12≤9a—3b≤27 就出来了。。