矩阵A,B都是n阶矩阵,*表示伴随矩阵,求证（AB）*=B*A*
矩阵A,B都是n阶矩阵,*表示伴随矩阵,求证（AB）*=B*A*
如果AB都是可逆的,那个就很简单了,但是其中有不可逆的呢,怎么证明啊,
如果AB都是可逆的,那个就很简单了,但是其中有不可逆的呢,怎么证明啊,
赞 notebook1998 幼苗
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这个问题的证明与A,B是否可逆无关,因为证明方法里不涉及到求逆阵的问题.我不知道你怎么用可逆这个条件的.
证明方法是这样的：
A=(Aij)nxn,B=(Bij)nxn
C=AB=(Cij)nxn
Cji=Σ(Ajk·Bki),求和是对k从1到n的
D=（AB）*= C*=(Dij)nxn
Dij=Cji=Σ(Ajk·Bki)
A*=(aij)nxn=(Aji)nxn,B*=(bij)nxn=(Bji)nxn
E=B*A*=(Eij)nxn
Eij=Σ(bik·akj),求和是对k从1到n的
Eij=Σ(Bki·Ajk)=Σ(Ajk·Bki)=Dij,
这样就证明了（AB）*的每个位置的元素Dij与B*A*每个对应位置的元素Eij是相同的.
所以有（AB）*=B*A*.
证明方法是这样的：
A=(Aij)nxn,B=(Bij)nxn
C=AB=(Cij)nxn
Cji=Σ(Ajk·Bki),求和是对k从1到n的
D=（AB）*= C*=(Dij)nxn
Dij=Cji=Σ(Ajk·Bki)
A*=(aij)nxn=(Aji)nxn,B*=(bij)nxn=(Bji)nxn
E=B*A*=(Eij)nxn
Eij=Σ(bik·akj),求和是对k从1到n的
Eij=Σ(Bki·Ajk)=Σ(Ajk·Bki)=Dij,
这样就证明了（AB）*的每个位置的元素Dij与B*A*每个对应位置的元素Eij是相同的.
所以有（AB）*=B*A*.
1年前 追问
7
很抱歉，我是看着伴随想着转置，而且我居然能写了这么多还没发现，果然是好久不用高代，脑子迟钝了。。。这样的话，你分可逆和不可逆来做就有道理了。对于不可逆的情况也只需要证明秩是n-1的情形就可以了，其他情况都是平凡的。
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你能帮帮他们吗