已知抛物线 ： 的焦点为 ，若过点 且斜率为 的直线与抛物线相交于 两点,且 ．

已知抛物线 ： 的焦点为 ，若过点 且斜率为 的直线与抛物线相交于 两点,且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设直线 为抛物线 的切线，且 ∥ , 为 上一点，求 的最小值．
（1） ；（2）-14.


试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、向量的数量积等基础知识，考查学生的数学结合思想、分析问题解决问题的能力、转化能力.第一问，由抛物线的标准方程得焦点F的坐标，再利用点斜式写出直线方程，由于它与抛物线相交，所以直线方程与抛物线方程联立，消参，利用韦达定理、得到M、N的两个横坐标的和，解出P的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先设出直线 的方程，由于 是抛物线的切线，所以2个方程联立，得到x的方程后，方程的判别式等于0，解出b的值，从而得到直线方程，设出p点坐标，结合第一问得出 和 坐标，利用向量的数量积化简表达式，使之转化为关于m的式子，再利用配方法求最值.
试题解析：（1）由题可知 ，则该直线方程为： ， 1分
代入
得： ，设 ，则有 3分
∵ ，∴ ，即 ，解得
∴抛物线的方程为： ． 5分

(2)设 方程为 ，代入
，得 ，
因为 为抛物线 的切线，∴ ，
解得 ，∴ 7分
由（1）可知： ，
设 ，则
所以

，