已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，A，B分别为左顶点和上顶点，F为右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点C，且直
已知椭圆
+
＝1(a＞b＞0)，A，B分别为左顶点和上顶点，F为右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点C，且直线AB与直线OC平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知定点M（3，0），P为椭圆上的动点，若△OMP的重心轨迹经过点（1，1），求椭圆的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知定点M（3，0），P为椭圆上的动点，若△OMP的重心轨迹经过点（1，1），求椭圆的方程．
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解题思路：（1）首先根据A、B的坐标，得到直线AB的斜率kAB＝
，再根据F是椭圆的焦点且CF⊥x轴，结合椭圆方程得到点C坐标（c，
），于是直线OC的斜率为kOC=
．最后根据直线AB与直线OC平行，利用斜率相等可得b=c，即可求得椭圆的离心率；
（2）由（1），可设椭圆方程为
+
＝1，动点P的坐标为（x0，y0），△OMP重心G的坐标为（x，y），据三角形重心坐标公式结合坐标转移的方法，可得点G的轨迹方程，因为G的轨迹经过点（1，1），所以将点（1，1）代入所求出的轨迹方程，即可得b2=9，从而得到椭圆的方程．
| b |
| a |
| b2 |
| a |
| b2 |
| ac |
（2）由（1），可设椭圆方程为
| x2 |
| 2b2 |
| y2 |
| b2 |
（1）∵A（-a，0），B（0，b），∴直线AB的斜率kAB＝ba，∵CF⊥x轴，∴将x=c代入椭圆方程得y2b2＝1−c2a2＝b2a2，y=±b2a（2分）得点C坐标为（c，b2a），于是OC的斜率为kOC=b2ac=b2ac∵直线AB与直线OC平行，∴kAB=kO...
点评：
本题考点： 椭圆的简单性质；三角形五心．
考点点评： 本题给出椭圆中两条线段互相平行，求椭圆的离心率，并在已知三角形重心坐标的情况下求椭圆的方程，着重考查了三角形重心公式、椭圆的基本概念和轨迹方程求法等知识点，属于中档题．
1年前
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