a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,a,b,c,d均为整数.求证a=b=c=d.

由已知,添项得
a＾4+b＾4-2a^2*b^2+2a^2*b^2+c＾4+d＾4-2c^2*d^2+2c^2*d^2-4abcd=0,即得
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2*b^2-2abcd+c^2*d^2)=0
又得
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0,
由于以上三项都是平方式,即都是非负数,所以只能是
(a^2-b^2)^2=0,可得a=正负b,
(c^2-d^2)^2=0,可得c=正负d,
2(ab-cd)^2=0,可得ab=cd,
无法求证,除非他们同号(正负区分)

配方(a^2-b^)^2+(c^2-d^2)^2=a^4+b^4+c^4+d^4-2a^2b^2-2c^2d^2=4abcd-2a^2b^2-c^2-d^2=-(ab-cd)^2>=0只能有ab-cd=0ab=cd, 同样有ac=bd,ad=bc,两两相 ,a^2bc=d^2bc,a^2=b^2,题目条件a,b,c,d都是正数就更好了,

a^4+b^4+c^4+d^4>=2a^2b^2+2c^2d^2>=4abcd
讨论成立的条件