设函数fn（x）=xn（1-x）2在[[1/2]，1]上的最大值为an（n=1，2，…）．

解题思路：（1）易求f′_n（x）=x^n-1（1-x）[n（1-x）-2x]，经分析可得n=1时，a1＝f1(

1

2

)＝

1

8

；当x∈[

1

2

，

n

n+2

)时f′_n（x）＞0，当x∈(

n

n+2

，1)时f′_n（x）＜0，函数f_n（x）在x＝

n

n+2

处取得最大值，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）当n≥2时，利用分析法：要证an＝

4nn

(n+2)n+2

≤

1

(n+2)2

，即证(1+

2

n

)n≥4，再利用二项式定理即可证得该式成立，从而使结论得证；
（3）当n=1，2时结论成立；当n≥3时，结合（2）的证明及放缩法的应用，即可证得对任意正整数n都有S_n＜[7/16]成立．

（1）由f′n(x)＝nxn−1(1−x)2−2xn(1−x)＝xn−1(1−x)[n(1−x)−2x]，
当x∈[
1
2，1]时，由f′（x）=0得x=1或x＝
n
n+2；
当n=1时，[n/n+2＝
1
3∉[
1
2，1]，f′₁（x）=0，则 a1＝f1(
1
2)＝
1
8]；
当n=2时，[n/n+2∈[
1
2，1]，则a2＝f2(
1
2)＝
1
16]；
当n≥3时，[n/n+2∈[
1
2，1]，
而当x∈[
1
2，
n
n+2)时f′_n（x）＞0，当x∈(
n
n+2，1)时f′_n（x）＜0，
故函数f_n（x）在x＝
n
n+2]处取得最大值，
即：an＝fn(
n
n+2)＝
4nn
(n+2)n+2，
综上：an＝


1
8(n＝1)

4nn

点评：
本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定，突出考查导数的应用，考查分析法、放缩法的综合应用及推理论证能力，属于难题．