神7经 幼苗
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(Ⅰ)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.
又b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)a2-a1=1,a3-a2=q,
…
an-an-1=qn-2,(n≥2).
将以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2).
所以当n≥2时,an=
1+
1−qn−1
1−q,q≠1
n,q=1
上式对n=1显然成立.
(Ⅲ)由(Ⅱ),当q=1时,显然a3不是a6与a9的等差中项,故q≠1.
由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得q3-1=1-q6,①
整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去).于是q=−
32
.
另一方面,an−an+3=
qn+2−qn−1
1−q=
qn−1
1−q(q3−1),an+6−an=
qn−1−qn+5
1−q=
qn−1
1−q(1−q6).
由①可得an-an+3=an+6-an,n∈N*.
所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.
点评:
本题考点: 等比关系的确定;等差数列的性质;数列递推式.
考点点评: 本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.
1年前
利用数列{an}构成一个新数列:a1,a2-a1,a3-a2…
1年前1个回答
你能帮帮他们吗
精彩回答
1年前
1年前
He thought his parents _______ _______ _______ (对……苛刻) on his brother.
1年前
1年前
1年前