已知函数f(x)＝(x+1)(x+a)x2为偶函数．

解题思路：（Ⅰ）根据函数f(x)＝

(x+1)(x+a)

x2

为偶函数f（-x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中函数f（x）的解析式，将x∈{-1，1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案
（Ⅲ）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，x∈[

1

m

，

1

n

]，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值．

（Ⅰ）∵函数f(x)＝
(x+1)(x+a)
x2为偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即
(x+1)(x+a)
x2=
(−x+1)(−x+a)
x2
∴2（a+1）x=0，
∵x为非零实数，
∴a+1=0，即a=-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)＝
x2−1
x2
∴E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={0，[3/4]}
而λ＝lg22+lg2lg5+lg5−
1
4=lg2•(lg2+lg5)+lg5−
1
4=lg2+lg5−
1
4=1−
1
4=[3/4]
∴λ∈E
（Ⅲ）∵f′(x)＝
2
x3＞0恒成立
∴f(x)＝
x2−1
x2在[
1
m，
1
n]上为增函数
又∵函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，
∴f（[1/m]）=1-m²=2-3m，且f（[1/n]）=1-n²=2-3n，
又∵[1/m＜
1
n]，m＞0，n＞0
∴m＞n＞0
解得m=
3+
5
2，n=
3−

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中利用奇偶性求出a值，进而得到函数的解析式，是解答的关键．