已知函数f（x）=[ax2-（3+2a）x+a]•ex+1，a≠0．

（1）

f′(x)＝(ax2−3x−a−3)ex+1
＝[ax−(a+3)][x+1]ex+1＝0
x1＝−1，x2＝
a+3
a，
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴

a＜0

a+3
a＜−1或

a＞0

a+3
a＞−1，
解得，−
3
2＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x²+x-a）•e^x+1⇔（x²+1）a-x²-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x²-4x-3≥0⇒-3≤x≤-1（10分）
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•e^x+1=[ax²-（3+2a）x+3a+6]•e^x+1
g′（x）=（ax²-3x+a+3）•e^x+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax²-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得，a＝
3x−3
x2+1令t(x)＝
3x−3
x2+1(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为(
9
17，
3(
2−1)
2)
∴

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的极值，解决函数在区间上的不单调问题，通常转化为函数在区间上有解且△≠0