A是m×n矩阵,m＜n,且A的行向量线性无关,B是n×(n-m)矩阵,B的列向量线性无关,且AB=0
A是m×n矩阵,m＜n,且A的行向量线性无关,B是n×(n-m)矩阵,B的列向量线性无关,且AB=0
证明：若η是齐次方程组Ax=0的解,则Bx=η有唯一解
证明：若η是齐次方程组Ax=0的解,则Bx=η有唯一解
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证明:
由已知,r(A)=m,r(B)=n-m
所以 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-m 个向量
又因为AB=0,所以B的列向量组都是AX=0的解
而 r(B)=n-m
所以 B 的列向量组组构成 AX=0的基础解系
因为 η是齐次方程组Ax=0的解
所以 η 可由 B 的列向量组线性表示
所以 Bx=η有解.
再由 B 列满秩知 Bx=η有唯一解.
由已知,r(A)=m,r(B)=n-m
所以 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-m 个向量
又因为AB=0,所以B的列向量组都是AX=0的解
而 r(B)=n-m
所以 B 的列向量组组构成 AX=0的基础解系
因为 η是齐次方程组Ax=0的解
所以 η 可由 B 的列向量组线性表示
所以 Bx=η有解.
再由 B 列满秩知 Bx=η有唯一解.
1年前
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