（2014•长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-

（2014•长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD-DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．

zjcuuu 1年前已收到1个回答举报

zy_z331 幼苗

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解题思路：（1）可证△DPN∽△DQB，从而有[DP/DQ＝

QB]，即可求出t的值．
（2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，就可得到点O在正方形PQMN内部时t的取值范围．
（3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成三类，如图4、图5、图6，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式．
（4）由于点P在折线AD-DO-OC运动，可分点P在AD上，点P在DO上，点P在OC上三种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分△BCD面积时t的值．

（1）当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．
∴[DP/DQ＝
PN
QB]．
∵PN=PQ=PA=t，DP=3-t，QB=AB=4，
∴[3−t/3＝
t
4]．
∴t=[12/7]．
∴当t=[12/7]时，点N落在BD上．

（2）①如图2，
则有QM=QP=t，MB=4-t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥DQ．
∵点O是DB的中点，
∴QM=BM．
∴t=4-t．
∴t=2．
②如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴DB=5．
∵点O是DB的中点，
∴DO=[5/2]．
∴1×t=AD+DO=3+[5/2]．
∴t=[11/2]．
∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜[11/2]．

（3）①当0＜t≤[12/7]时，如图4．
S=S_{正方形PQMN}=PQ²=PA²=t²．
②当[12/7]＜t≤3时，如图5，
∵tan∠ADB=[PG/DP]=[AB/AD]，
∴[PG/3−t]=[4/3]．
∴PG=4-[4/3]t．
∴GN=PN-PG=t-（4-[4/3]t）=[7t/3]-4．
∵tan∠NFG=tan∠ADB=[4/3]，
∴[GN/NF＝
4
3]．
∴NF=[3/4]GN=[3/4]（[7t/3]-4）=[7/4]t-3．
∴S=S_{正方形PQMN}-S

点评：
本题考点：相似形综合题；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

考点点评：本题考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，考查了用割补法求五边形的面积，考查了用临界值法求t的取值范围，考查了分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度．

1年前

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