（2010•安庆模拟）已知函数f（x）=x2+x．

（2010•安庆模拟）已知函数f（x）=x2+x．
（1）数列{an}满足a1＞0，an+1=f'（an），若[11+a1+
1
1+a2
+…+
1
1+an
＜
1/2]对任意n∈N+恒成立，求a1的取值范围；
（2）数列{bn}满足b1=1，bn+1=f（bn），n∈N+，记Cn＝
1
1+bn
，Sk为数列{cn}前k项和，Tk为数列{cn}的前k项积，求证：
T1
S1+T1
+
T2
S2+T2
+…+
Tn
Sn+Tn
＜
7
10
．
希唯 1年前 已收到1个回答 举报
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enzofhj 幼苗

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解题思路：（1）根据题意得到an+1=2an+1，利用构造新数列的方法求出an+1=（a1+1）2n-1，进而得到
1
1+an
＝
1
1+a1
(
1
2
)n−1，再求和整理可得a1＞3−
1
2n−2
即可得到答案．
（2）由bn+1=bn（bn+1）即可得到Cn＝
1
1+bn
＝
bn
bn+1
，进而得到Tn=
b1
bn+1
，SK＝1−
1
bk+1
，利用放缩法得到
1
bk+1
＜
1
bk2
，进一步利用放缩法得到
n
k＝1
Tk
Sk+Tk
＝
n
k＝1
1
bk+1
＜
1
2
+
1
6
+
1
62
+
1
64
+…+
1
62n−2
，即可得到答案．

（1）由题意可得：函数f（x）=x2+x，所以f′（x）=2x+1，所以an+1=2an+1，即an+1+1=2（an+1），所以{an+1}为等比数列，并且an+1=（a1+1）2n-1所以11+an＝11+a1(12)n−1即有ni＝111+ai＝11+a1(1+12+122+…+12n−1)＝2...

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 解决此类问题的关键是数列掌握求数列通项与数列求和的方法，而在证明不等式或者证明不等式恒成立等问题时最常用的方法是放缩法．

1年前

4
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