咖啡的秋天 花朵
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x |
e2 |
2 |
e |
(Ⅰ)∵f′(x)=lnx+1,
当x∈(0,
1/e]),f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈([1/e],+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增,
①0<t<
1
e<t+1,即0<t<[1/e]时,f(x)min=f(
1
e)=−
1
e,f(x)min=f(t)=tlnt
②[1/e≤t<t+1,即t≥
1
e]时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt,
∴f(x)min=
−
1
e,0<t<
1
e
tlnt,t≥
1
e
(Ⅱ)2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+
3
x,
设h(x)=2lnx+x+[3/x],x>0,则h′(x)=
(x+3)(x−1)
x2,
①x∈(0,1),h′(x)<0,h(x)单调递减,
②x∈(1,+∞),h′(x)>0,h(x)单调递增,
∴h(x)min=h(1)=4,对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,
∴a≤4.
(Ⅲ)问题等价于证明xlnx>[x
e2−
2/e (x∈(0,+∞)),
由(Ⅰ)可知f(x)=xlnx,(x∈(0,+∞))的最小值是−
1
e],当且仅当x=[1/e]时取到,
设m(x)=xlnx>
x
e2−
2
e (x∈(0,+∞)),则m′(x)=
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 本题考查了导数在函数的单调性,最值的应用,注意求参数时分类讨论,以及注意定义域.
1年前
(2014•张掖模拟)已知[2/x+8y=1(x>0,y>0)
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(2014•大庆二模)已知函数f(x)=a(x2-1)-xlnx
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(2014•临汾模拟)已知函数f(x)=ax2+x-xlnx,
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