（2014•张掖三模）已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．

（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1，
当x∈（0，
1/e]），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（[1/e]，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
①0＜t＜
1
e＜t+1，即0＜t＜[1/e]时，f（x）_min=f(
1
e)＝−
1
e，f（x）_min=f（t）=tlnt
②[1/e≤t＜t+1，即t≥
1
e]时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
∴f(x)min＝

−
1
e，0＜t＜
1
e
tlnt，t≥
1
e
（Ⅱ）2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+
3
x，
设h（x）=2lnx+x+[3/x]，x＞0，则h′（x）=
(x+3)(x−1)
x2，
①x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤4．
（Ⅲ）问题等价于证明xlnx＞[x
e2−
2/e (x∈(0，+∞))，
由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是−
1
e]，当且仅当x=[1/e]时取到，
设m（x）=xlnx＞
x
e2−
2
e (x∈(0，+∞))，则m′(x)＝

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查了导数在函数的单调性，最值的应用，注意求参数时分类讨论，以及注意定义域．