已知各项均为正数的数列{an}前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），（n∈N*）

解题思路：（1）先根据题设求得a1，进而根据an+1=Sn+1-Sn整理得（an+1+an）（an+1-an-3）=0，求得an+1-an=3，判断出{an}是公差为3，首项为2的等差数列，则数列的通项公式可得；（2）由（1）求出数列{an}前n项和Sn，代入Snn-3n+20，然后分段求出数列{bn}前n项和Tn．

（1）由a1＝S1＝
1
6（a₁+1）（a₂+1），
解得a₁=1或a₁=2，
由假设a₁=S₁＞1，因此a₁=2，
又由an+1＝Sn+1−Sn＝
1
6(an+1+1)(an+1+2)−
1
6(an+1)(an+2)，
得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
即a_n+1-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，
∵a_n＞0，
故a_n+1=-a_n不成立，舍去，
因此a_n+1-a_n=3，
从而{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{a_n}的通项为a_n=3n-1；
（2）由（1）得，Sn＝na1+
n(n−1)
2d＝2n+
3
2n(n−1)=[3/2n2+
1
2n，
∴
Sn
n]-3n+20=[3/2n+
1
2−3n+20＝−
3
2n+
41
2]．
由−
3
2n+
41
2＞0，得n＜[41/3]，
∴数列{−
3
2n+
41
2}的前13项大于0，自14项起小于0．
又数列{−
3
2n+
41
2}的首项为19，公差为-[3/2]．
∴当n≤13时，数列b_n的前n项和T_n=19n+
n(n−1)
2×(−
3
2)＝−
3
4n2+
79
4n．
当n＞13时，T_n=[3/4n2−
79
4n+2(−
3
4×132+
79
4×13)=
3
4n2−
79
4n+260．
∴Tn＝

−
3
4n2+
79
4n，n≤13

3
4n2−
79
4n+260，n＞13]．

点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．