这个均值不等式是如何证明的?

用Cauchy不等式：
(1²+1²)(a²+b²)≥(1·a+1·b)²
↔a²+b²≥(a+b)²/2.
用权方和不等式：
a²/1+b²/1≥(a+b)²/(1+1)
↔a²+b²≥(a+b)²/2.
用作差法：
a²+b²-(a+b)²/2
＝[2a²+2b²-(a²+2ab+b²)]/2
＝(a-b)²/2
≥0,
∴a²+b²≥(a+b)²/2.
用基本不等式：
a²+b²≥2ab
两边加上(a²+b²)得
2(a²+b²)≥a²+2ab+b²
→2(a²+b²)≥(a+b)².
再两边除以2,得
a²+b²≥(a+b)²/2.
即原不等式得证.
还有很多方法就不一一列举了.