已知函数 f(x)= 2 x +alnx-2(a＞0) ．

（1） f′(x)=-
2
x 2 +
a
x =
ax-2
x 2 ，由f′（x）＞0解得 x＞
2
a ，
由f′（x）＜0得 0＜x＜
2
a
∴f（x）在区间 (
2
a ，+∞) 上单调递增，在区间 (0，
2
a ) 上单调递减
∴当 x=
2
a 时，函数f（x）取得最小值 y min =a+aln
2
a -2
由于对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以 a+aln
2
a -2＞2(a-1)
解得 0＜a＜
2
e ，故a的取值范围是 (0，
2
e )
（2）依题意得 g(x)=
2
x +lnx+x-2-b ，则 g′(x)=
x 2 +x-2
x 2
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，+∞）上为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e ^-1 ，e]上有两个零点，
所以

g( e -1 )≥0
g(e)≥0
g(1)＜0
解得 1＜b≤
2
e +e-1 ，
所以b的取值范围是 (1，
2
e +e-1] ．