已知函数f(x)=1+1nxx．

（1）f′（x）=

1
x•x-(1+lnx)
x2=-[lnx
x2，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；
∴f（x）_max=f（1）=1；
（2）对于任意的x≥1，f（x）≥
k/x+1]，即k≤
(x+1)(1+lnx)
x（x≥1），
设g（x）=
(x+1)(1+lnx)
x（x≥1），则k≤g（x）_min；
∵g（x）=1+[1/x]+lnx+[lnx/x]，
∴g′（x）=[x-lnx
x2，
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′（x）=1-
1/x]=[x-1/x]≥0（仅当x=1时取等号），
∴h（x）在[1，+∞）上递增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
∴g′（x））=[x-lnx
x2＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上递增，
∴g（x）≥g（1）=2，即g（x）_min=2，
∴k≤2，即实数k的取值范围为（-∞，2]．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查函数恒成立问题，着重考查函数的单调性与极值，考查构造函数思想与导数法的综合运用，属于难题．

1年前

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