这句话中的so做定语从句关系代词,代表整句话,这里插在了中间,在从句中做宾语,是吧?

so to speak这里,个人认为,跟主句the dog is a member of the family没有任何直接联系,也不是楼主所分析的so做定于从句关系代词.to speak也不是一个从句.比较合理的理解有两种：
第一、固定用法.so to speak = as if it were so,一个由as if引导的状语从句,表示让步,如果真的是这样的话,如果你这样认为的的话,如果可以这样说的话.
第二中解释方法,so to speak中so提前表强调,to speak so,这里speak的主语是讲话的人,并不是句子的主语.所以要用不定式.理解的时候可以把不定时扩充成句子,if you allow me to say so,这样的话也是一个跟主句没有任何关系,表示一种语气的从句.