（2014•房县三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC=CD，或C作CE⊥AD，交AD延长线于E，交AB延

解题思路：（1）要证EF是⊙O的切线，只要证∠OCE=90°，根据OC=OA得到∠OCA=∠OAC，再证∠OCA=∠OAC，从而证∠OCA+∠ECA=90°．
（2）证△COF∽△EAF根据对应边成比例求出OF的长，再根据勾股定理求出CF．
（3）先证△CDE∽△ABC得到对应边成比例，由AB=4DE，BC=CD得到BC=[1/2]AB，从而求出cos∠ABC=[BC/AB]．

（1）证明：连接OC、AC
∵CE⊥AD
∴∠EAC+∠ECA=90°
∵OC=OA
∴∠OCA=∠OAC
又∵BC=CD
∴∠OAC=∠EAC
∴∠OCA=∠EAC
∴∠ECA+∠OCA=90°
∴EF是⊙O的切线．


（2）∵EF是⊙O的切线
∴∠OCF=90°
又∵∠AEF=90°∠EFA=∠CFO
∴△COF∽△EAF
∴[OC/AE＝
OF
AF]
即[3/4.8＝
OF
OF+3]
解得：OF=5
在Rt△OCF中
CF=
OF2−OC2=
52−32=4

（3）∵EF是⊙O的切线
∴∠ECD=∠EAC
又∵BC=CD
∴∠EAC=∠BAC
∴∠ECD=∠BAC
又∵AB是直径
∴∠BCA=90°
在△BAC和△DCE中
∠BCA=∠DEC=90°
∠ECD=∠CAB
∴△CDE∽△ABC
∴[CD/DE＝
AB
BC]
又∵AB=4DE，CD=BC
∴[BC

1/4AB＝
AB
BC]
∴BC=[1/2AB
∴cos∠ABC=
BC
AB]=[1/2]

点评：
本题考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 考查了切线的判定，这道题主要利用切线的判定定理来证明EF是⊙O的切线，并且利用相似三角形的性质来求线段的长度．