已知定义在r上的函数奇函数f(x),偶函数g(x),且f(x)+g(x)=a^x,求证f(2x)=2f(x)g(x)

已知定义在r上的函数奇函数f(x),偶函数g(x),且f(x)+g(x)=a^x,求证f(2x)=2f(x)g(x)
已知定义在r上的函数奇函数f(x),偶函数g(x),且f(x)+g(x)=a^x,(a大于0,且不等于1）,求证f(2x)=2f(x)g(x)
kjycn 1年前 已收到1个回答 举报
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SJ990415 幼苗

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f(x)＋g(x)＝a^x
f(－x)＋g(－x)=a^(－x),即有：－f(x)＋g(x)＝a^(－x)
∴g(x)＝1/2[a^x＋a^(－x)],f(x)＝1/2[a^x－a^(－x)]
∴f(2x)＝1/2[a^(2x)＋a^(－2x)]
2f(x)g(x)
＝2×1/2[a^x－a^(－x)]×1/2[a^x＋a^(－x)]
＝1/2{(a^x)^2－[a^(－x)]^2}
＝1/2[a^(2x)＋a^(－2x)]
∴f(2x)＝2f(x)g(x)

1年前

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