已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1,0）,且经过点（0,1）

（1）函数y=ax²+bx+c的顶点为（1,0）,
∴-b/(2a)=1,①
(4ac-b²)/(4a)=0②
∵经过点(0,1)
将其代入y=ax²+bx+c得 c=1③
由①②③联立解得a=1,b=-2,c=1
∴该抛物线对应的函数解析式为y=x²-2x+1
(2)①该抛物线向下平移m(m＞0)个单位
这时的顶点坐标为A（1,-m)
抛物线轨迹方程y=x²-2x+1-m的解为x=1-√m或1+√m
所以这时抛物线与x轴的两交点坐标为B（1-√m,0)和C(1+√m,0）
∴ AB=(-√m,m)AC=(√m,m) ∴ |AB|=|AC|=√(m+m²),AB*AC=-m+m²
∴△ABC是一个等腰三角形
若△ABC为等边三角形
需令AB与AC的夹角θ=60°,所以cosθ=cos60°=1/2
AB*AC=|AB| |AC|cosθ
代入得-m+m²=√(m+m²) √(m+m²) *(1/2)解得m=0或m=3(m=0与m>0矛盾,舍去）
∴m=3
②存在,线段AD与BC互相垂直平分,
∴四边形ACBD为菱形,A是抛物线上的点
∴所求点P就是A 点,
由①得A(1,-3),即P(1,-3)

打出来的全是乱码

连OE，OC，则OE⊥AC，过C作CF⊥AB，设OE=r
∴AB=√12²+9²=15
CF=12×9÷15=36/5
∵S△ABC=S△AOC+S△OCB
∴½×12×9=½×12r+½×36/5 r
则，r=45/8
∴AD=AB-BD=15-45/8×2=15-45/4=15/4
请采纳。