已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=[π/3]，记椭圆和双曲线的离心率分别为e

解题思路：先设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长a₂，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a₁，a₂，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，并且|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝

π

3

，在△F₁PF₂中根据余弦定理可得到：

a12

c2

+

3a22

c2

＝4，所以

1

e12

+

3

e22

＝4．

如图，设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，则根据椭圆及双曲线的定义：



|PF1|+|PF2|＝2a1
|PF1|−|PF2|＝2a2；
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，设|F₁F₂|=2c，∠F1PF2＝
π
3，则：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，4c2＝(a1+a2)2+(a1−a2)2−2(a1+a2)(a1−a2)•cos
π
3；
∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：

a12
c2+
3a22
c2＝4；
∴
1
e12+
3
e22＝4．
故选D．

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定义，余弦定理．