设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若 BP =3 PA 且

（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，
∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），
∵O为坐标原点，∴

BP =（x，y-b），

PA =（a-x，-y），

OQ =（-x，y），

AB =(-a，b) ，
∵

BP =3

PA 且

OQ •

AB =4 ，
∴

x=3(a-x)
y-b=-3y
ax+by=4 ，
解得点P的轨迹M的方程为
x 2
3 + y 2 =1 ．
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，
联立

y=kx-2k

x 2
3 + y 2 =1 ，得（3k ² +1）x ² -12k ² x+12k ² -3=0，
设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），则x ₁ +x ₂ =
12 k 2
3 k 2 +1 ，x ₁ x ₂ =
12 k 2 -3
3 k 2 +1 ，


FA =（x ₁ -2，y ₁ ），

FB =（x ₂ -2，y ₂ ），
∴

FA •

FB =（x ₁ -2）（x ₂ -2）+y ₁ y ₂
=（1+k ² ）（x ₁ -2）（x ₂ -2）
=（1+k ² ）[x ₁ x ₂ -2（x ₁ +x ₂ ）+4]
=（1+k ² ）（
12 k 2 -3
3 k 2 +1 -
24 k 2
3 k 2 +1 +4）
=
k 2 +1
3 k 2 +1
=
1
3 +
2
9 k 2 +3 ，
∴当k ² →∞

FA •

FB 的最小值→
1
3 ；当k=0时，

FA •

FB 的最大值为1．
∴

FA •

FB 的取值范围是（
1
3 ，1]．